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| giordano bruno |
bigi@dmmm.uniroma1.it |
| matematico | 29.05.02 |
| IL CAOS, LINGUAGGIO DELLA NATURA |
Relazione tenuta al Convegno internazionale "Natura, Coltura, Cultura",
Roma 22-23 Febbraio 2002.
Il mio intervento non vuole avere un carattere di tipo tecnico-scientifico, vuole al contrario essere un riassunto, con qualche riflessione, di letture, idee, spunti, congetture che in forma abbastanza caotica mi hanno accompagnato durante vari anni e diverse esperienze. Questo Convegno mi ha dato lo stimolo per mettere finalmente sulla carta questo materiale fluttuante nella mia mente e di questa opportunità voglio ringraziare tutti coloro che lo hanno organizzato. Colgo quindi l’occasione per comunicarvene almeno una parte.
Permettetemi anche di dire che sono particolarmente contento di poter esporre questo modesto contributo, proprio all’Isia di Roma, dove ho trascorso, oramai, una non breve parte della mia vita e dove ho sempre felicemente trovato occasione di scambio intellettuale, umano ed affettivo con coloro hanno avuto la sorte, e a parer mio la fortuna, di farne parte.
Il Caos, la Natura, la Matematica e la Fisica
C’era una volta, in un tempo molto lontano, il Caos. Poi vennero l’Aritmetica di Pitagora e la Geometria di Euclide, e vennero la Fisica di Galilei e quella di Newton. Dopo vennero le Geometrie non euclidee, la relatività e i quanti…. Passato ancora del tempo, ritornò il Caos.
Questo è quello che in estrema sintesi, mi sembra sia accaduto.
Cercherò di provarlo esponendo quanto segue.
Fin dall’inizio della sua apparizione sulla terra l’uomo ha dovuto costruire un linguaggio per raccontare la Natura, conoscerla e potersi misurare con essa.
E per prima cosa, come adatto allo scopo, ha inventato il linguaggio dei miti.
La parola Caos è stata utilizzata per rappresentare ciò che viene prima: il Disordine che precede l’Ordine! Quindi, in origine era il Caos. Poi si presentarono l’Universo, la Terra e l’Uomo.
E quali erano le forme della Natura, e come si potevano descrivere?
A ciò diedero una risposta l’Aritmo-Geometria di Pitagora e la Geometria di Euclide.
Facendo un salto in avanti, è con questi occhi, fondamentalmente, che Galileo Galilei affermava che si poteva leggere il Gran Libro della Natura. Attraverso il linguaggio della Matematica si potevano formulare le leggi della Fisica.
Prima di Galilei però Democrito aveva introdotto il concetto fisico di atomo, in contrapposizione al punto-unità di Pitagora, e attraverso gli atomi aveva fornito una descrizione della Natura. Epicuro e Lucrezio poi avevano aggiunto del loro, completando la descrizione con quel carattere di libertà, che derivava dall’introduzione del clinamen, la declinazione, l’angolo, lo spostamento infinitesimale, che tutto rendeva possibile.
Successivamente la meccanica Newtoniana aveva avuto bisogno di manipolare l’infinitamente piccolo e da lì era nato il calcolo infinitesimale, con il suo concetto fondante di limite.
Nel frattempo, cominciava a svilupparsi la logica dell’incerto attraverso l’introduzione del concetto di probabilità. L’aleatorio (che compare già come elemento intrinseco del moto degli atomi nel De Rerum Natura) tornava alla ribalta.
Nello stesso tempo la geometria Euclidea perdeva il suo primato, perché nello sforzo di tanti matematici di dimostrare il famoso Postulato delle Parallele come un teorema (conseguenza dei primi quattro postulati di Euclide), alcuni di loro Bolyai, Loba_evskji e Riemann decisero di costruire delle geometrie in cui il Postulato delle Parallele fosse falso e svilupparono le cosiddette Geometrie Non Euclidee.
Veniva, più tardi, intrapreso lo studio dei sistemi dinamici, cioè di sistemi che evolvono rispetto ad alcuni parametri (il tempo, ad esempio), e i matematici francesi Hadamard e Poincaré introducevano la dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. Un piccolo mutamento delle condizioni iniziali, in certi sistemi, conduce abitualmente all’imprevedibilità a lungo termine del futuro del sistema.
Poincaré, in particolare, citava come esempi di questo fenomeno da una parte la dinamica di un gran numero di particelle di un gas che si muovono a grande velocità in tutte le direzioni e che subiscono numerosi urti reciproci e dall’altra le previsioni relative ai fenomeni meteorologici. In Science et Méthode sosteneva che caso e determinismo sono resi compatibili dall’imprevedibilità a lungo termine, con le seguenti parole: "Una causa molto piccola, che ci sfugge, determina un effetto considerevole che non possiamo non vedere, e allora diciamo che tale effetto è dovuto al caso".
A valle di ciò, il relativismo galileiano veniva completato dall’opera di Einstein, e la teoria dei quanti forniva una diversa visione dei modelli fisici elaborati fino ad allora intorno all’energia elettromagnetica, trasformando nuovamente ciò che era visto come una grandezza continua in una grandezza discontinua.
Il Caso entrava prepotentemente nella Meccanica Quantistica e veniva introdotta l’Entropia come misura della quantità di caso presente in un sistema.
E a fondamento della Termodinamica era posto il Principio dell’Entropia, per cui in ogni processo fisico l’entropia rimane costante o aumenta, e se aumenta il processo è irreversibile.
Le regolarità di sistemi complessi vengono interpretate ricorrendo ad un ulteriore modello quello della Meccanica Statistica dell’Equilibrio, per cui non si tenta di dare una spiegazione dei fenomeni mediante leggi deterministiche, ma si segue un approccio aleatorio , stabilendo un insieme di caratteri probabilistici che caratterizza le configurazioni dei sistemi in modo unico.
Nello stesso tempo veniva introdotto il Principio di Indeterminazione: Werner Heisenberg dimostrava che non si possono misurare contemporaneamente posizione e velocità di una particella (in buona sostanza, l’osservatore diventa parte del fenomeno osservato e mentre misura l’una modifica l’altra). E in Matematica Kurt Gödel provava che esistono problemi indecidibili, ovvero che se si fissano le regole di deduzione ed un numero finito di assiomi, ci sono asserzioni formulate in modo esatto per le quali non si può dimostrare né che sono vere né che sono false.
Un altro matematico francese Renée Thom, viceversa, tentava successivamente attraverso la sua Teoria delle Catastrofi di dare una nuova chiave di lettura delle proprietà topologiche delle forme e delle loro trasformazioni.
Lo sforzo di Thom è stato quello di occuparsi di morfogenesi, fornendo una descrizione qualitativa di fenomeni complessi, che presentano discontinuità, sotto l’ipotesi di stabilità strutturale.
In particolare le catastrofi, rappresentano i salti che si hanno quando un sistema stabile, passando attraverso stati di non equilibrio, si trasforma in un altro sistema stabile. In tal modo le idee di Thom si collocano un po’ indietro nel tempo, in quello che potremmo chiamare il filone deterministico, ma gli va dato merito per aver cercato di costruire un modello che fosse applicabile a molte altre discipline oltre alle scienze naturali, quali l’economia, le scienze del comportamento, la linguistica.
Il Caso è presente invece con forza nella Teoria dell’Informazione, nella codifica, trasmissione e decodifica di un messaggio, e nella Teoria della Complessità, dove si può provare che si possono introdurre molte proprietà dei numeri interi che sono a caso vere o false; ad esempio si può definire una sequenza di cifre binarie che sono 0 o 1 indipendentemente e con probabilità 1/2 .
Per non parlare poi del ruolo che il Caso gioca nella Genetica.
Il ritorno, però, allo studio dei sistemi dinamici, in particolare quelli che presentano fenomeni legati a turbolenze, ci riporta nuovamente al Caos.
A lungo si era creduto che il comportamento nel tempo di un sistema dinamico fosse caratterizzato dal fatto che questo tende a stabilizzarsi in determinate configurazioni, che vengono chiamate attrattori.
Anche se, a onor del vero, Henri Poincaré già nel 1908 aveva anticipato ciò di cui ci si sarebbe accorti più tardi e cioè che le equazioni della dinamica classica, anche in sistemi molto semplici, possono generare un moto caotico, perché il sistema non tende a stabilizzarsi in uno degli attrattori descritti, ma continua il suo moto in maniera casuale. Così infatti si esprimeva Poincaré:
"Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, e allora diciamo che l’effetto è dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell’universo all’istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in questo caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto, che è governato da leggi. Ma non è così, può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diventa impossibile e si ha un fenomeno fortuito."
Viceversa, il meteorologo Edward Lorenz del MIT nel 1963 fu il primo ad osservare un moto caotico. Ciò accadde mentre studiava il fenomeno della convezione atmosferica. Ne costruì un semplice modello matematico per esaminarne , a partire da uno stato iniziale dato, l’evoluzione temporale e nell’ analizzarlo al computer, scoprì una manifestazione dalle caratteristiche completamente nuove: l'evoluzione del sistema tendeva verso uno stato caotico senza alcun carattere di regolarità.
La strana configurazione geometrica a cui si trovò davanti è oggi nota come attrattore strano o attrattore di Lorenz.
Inoltre, introducendo dei dati appena leggermente modificati, notò che si riproduceva una situazione illustrata da una figura avente la stessa forma della precedente ma con i particolari (numeri di giri a destra e a sinistra) totalmente diversi. Ciò venne spiegato da Lorenz con il fatto che l’evoluzione temporale del sistema dipende in modo sensibile dalle condizioni iniziali. Il numero di giri della figura a destra e a sinistra è irregolare , aleatorio e presenta caratteristiche di imprevedibilità. Per quanto vicini possano essere gli stati iniziali di due diverse soluzioni, la loro distanza diverge esponenzialmente, pur restando confinata in un volume finito di spazio.
O in altri termini, supponiamo di aver misurato lo stato iniziale con una determinata incertezza. Questa incertezza provoca una imprecisione nello stato finale che non è proporzionale alla incertezza iniziale, ma diventa rapidamente molto grande al passare del tempo, o in termini più tecnici, diverge esponenzialmente, fino a che raggiunge la massima imprecisione che possiamo tollerare.
Tutto ciò fu suggestivamente espresso dallo stesso Lorenz, attraverso il cosiddetto Effetto Farfalla: il battito d’ali di una farfalla in Brasile può provocare un uragano nel Texas!
Come dice David Ruelle nel suo Caso e Caos "Nei fenomeni caotici, l’ordine deterministico crea dunque il disordine del caso".
Tornando a queste figure, gli attrattori strani, in realtà esse presentano un aspetto inusuale, non sono curve o superfici lisce, ma oggetti che hanno dimensione non intera ma frazionaria.
E qui si presenta un’altra novità! Benoit Mandelbrot, ricercatore all’ IBM, all’incirca nello stesso periodo, partendo dal suo lavoro sulle forme geometriche, sviluppa un nuovo campo che chiama geometria frattale: lo studio di forme con dimensione frazionaria.
Negli Anni Ottanta, poi, Mandelbrot pubblica un libro divenuto ormai un classico "The Fractal Geometry of Nature", in cui mostra come strutture con dimensioni non intere fossero molto comuni.
Per esempio, la costa della Gran Bretagna a causa della sua natura frastagliata ha una dimensione maggiore di uno ma inferiore a due, la dimensione della superficie di un pezzo di carta appallottolato è compresa fra due e tre. Altri esempi sono la distribuzione delle galassie, la struttura di sottili pellicole, la ramificazione degli alberi, la deposizione elettrochimica, la superficie delle nuvole, etc.
Un’altra notevole proprietà di queste strutture è l’autosomiglianza, cioè ogni piccola parte del sistema, quando è opportunamente ingrandita, riproduce l’intera struttura.
In matematica erano già state studiate delle curve che presentavano caratteristiche analoghe, come la curva di Koch o fiocco di neve, essa si ottiene determinando e mettendo insieme un numero di triangoli equilateri sempre più piccoli e considerandone il contorno.
Una tale "curva" risulta avere una lunghezza infinita. Ma il suo indice di circonvoluzione, ovvero la sua dimensione frazionaria, che si può stabilire determinando il numero minimo di oggetti lineari necessari a ricoprire la struttura originaria, è dato da log4/log3 = 1.26.
Mandelbrot, inoltre, nello studio del problema della complessità di procedure iterative, come quella di far eseguire ripetutamente l’ operazione z2+c, nel campo complesso, ottiene tramite il computer una configurazione, ormai notissima, che viene chiamata insieme di Mandelbrot.
Il contorno di tale figura è un frattale, e iterazioni della stessa operazione che generano tale insieme, con una leggera variante, producono una varietà di forme del tutto diverse, come gli insiemi di Julia.
Una notevole caratteristica dell’insieme di Mandelbrot è quella di essere presente anche in altri insiemi frattali, come appunto quelli di Julia, di ritrovarsi cioè come figura limite, assumendo così il ruolo di un invariante, una specie di costante matematica universale.
Infine poiché molti sistemi dinamici possono essere analizzati mediante un procedimento iterativo ecco che le strutture frattali si accompagnano a tali tipi di sistemi e l’insieme di Mandelbrot diventa uno degli esempi più belli di rappresentazione della stabilità e del caos.
A proposito della geometria frattale, poiché questa sembra rappresentare quella che è stata chiamata la nuova Geometria della Natura, è interessante osservare come figure, strutture, oggetti che noi consideriamo ordinati siano in realtà il risultato di una dinamica caotica.
In effetti, come possiamo osservare dal disegno di Leonardo da Vinci (fig.8), negli organi interni del corpo umano si possono individuare strutture di tipo frattale, quali i vasi sanguigni, le fibre nervose, le canalizzazioni. La Natura ha utilizzato la struttura frattale per comprimere in uno spazio minimo grandi capacità di estensione. Ad esempio la capacità respiratoria di un animale è legata alla superficie dei suoi polmoni che, sviluppata, è di norma pari ad un campo da tennis; mentre la dimensione complessiva dei polmoni, realizzata da una struttura frattale, è di gran lunga inferiore.
Lo stesso discorso può farsi per altre forme della natura quali alberi e montagne, anche per loro uno sviluppo caotico dà luogo a qualcosa che noi cogliamo come ordinato. Sarà necessario rivedere allora il nostro concetto di ordine. Sarà bene distinguere tra ordine, regolarità, ripetizione.
Certamente quello che veniva rappresentato come il paradigma dell’Ordine e (anche del Bello), la Simmetria, dovrà essere sostituito da un nuovo paradigma che forse possiamo identificare nell’Autosomiglianza.
Considerazioni finali
Da questo breve e parziale, ma significativo, percorso relativo alle conoscenze scientifiche sulla natura mi pare si possa ricavare che il Caos diventa il modello unificante dei paradigmi lungo i quali si è mossa la scienza: Caso e Regolarità. In esso le classiche antinomie: determinismo e indeterminismo, stabilità e instabilità, reversibilità e irreversibilità, discreto e continuo, sembrano potersi fondere in qualcosa di più ampio che le comprenda.
In ogni caso, mi sembra giusto affermare che il Caos è il Linguaggio della Natura.
La Natura si organizza attraverso il Caos e sembra, al contrario di quanto affermato da Einstein, che Dio giochi a dadi con il Mondo.
Torniamo così, in definitiva, alla tesi formulata con straordinaria capacità di intuizione e anticipazione da Epicureo e Lucrezio, che avevano posto l’atomo e il Clinamen, lo scarto, a fondamento della loro concezione della Natura.
Vorrei far osservare come, a parer mio, oggi la scienza ci indichi una strada più percorribile: non più la scoperta e l’affermazione di verità, ma la continua infaticabile ricerca e costruzione di un linguaggio o se volete di più linguaggi, che ci aiutino a tentare di dare un significato a ciò che ancora chiamiamo il reale!
Per inciso, mi sembra importante riconoscere che anche in altre circostanze il cammino della scienza è stato molto più lento rispetto agli sviluppi e alle tesi ottenute in altri campi, quali la filosofia. Ad esempio, per sciogliere il famoso paradosso di Achille e la tartaruga di Zenone, ai matematici è stato necessario trovare il modo di sommare infiniti numeri e per fare questo hanno dovuto ricorrere al calcolo infinitesimale.
In effetti lo scienziato per arrivare a formulare quelle che una volta si chiamavano leggi di natura ha bisogno di due strumenti fondamentali, le osservazioni e le misure e queste ultime gli sono offerte dagli sviluppi della matematica.
Desidero poi sottolineare come in questo procedere sia entrata a farla da padrona la probabilità, che altro non è se non la misura dell’incertezza.
A questo strumento, non solo numerico ma concettuale, credo si debba il nuovo modo di leggere la realtà, di parlarne e di rappresentarla.
Mi piace concludere con alcune affermazioni del premio Nobel per la chimica, Ilya Prigogine: La scienza classica poneva l'accento sulla stabilità, sull'equilibrio; ora, a tutti i livelli di osservazione, ci imbattiamo in fluttuazioni, biforcazioni, processi evolutivi. Questo cambiamento radicale è avvenuto nella seconda metà di questo secolo. Il Diciannovesimo secolo ci ha lasciato un'eredità contraddittoria: da un lato, le "leggi di natura", deterministiche e reversibili nel tempo, nel senso che passato e futuro vi giocano lo stesso ruolo; dall'altro, la termodinamica, la scienza che introduce il concetto di entropia. Dunque, un mondo dell'"essere" e un mondo del "divenire". La termodinamica prende in considerazione e spiega i processi irreversibili, che costituiscono la maggior parte dei processi osservati alla nostra scala di grandezza. Questi processi illustrano il ruolo concreto della "freccia del tempo", cioè della differenza tra passato e futuro, connessa all'irreversibilità così come lo è l'emergere della probabilità. Tradizionalmente, la probabilità era considerata come una conseguenza della nostra ignoranza, veniva associata alle limitazioni della nostra mente. Ora possiamo sostenere che la probabilità è una conseguenza della nostra maniera di descrivere la natura.
Infine, vi invito ad aiutarmi a risolvere il seguente enigma: chissà se quanto avete avuto la pazienza di ascoltare sia stato generato a caso dal mio Caos mentale oppure prodotto da qualche regolarità a me sconosciuta!
Bibliografia
1. Michel Serres, Lucrezio e l’origine della fisica, Sellerio editore Palermo
2. David Ruelle, Caso e Caos, Bollati Boringhieri
3. A. Woodcock - M. Davis, La teoria delle catastrofi, Garzanti
4. Robert Osserman, I frattali, frontiere del caos, in Catalogo della Mostra "I frattali: la geometria dell’irregolare", Istituto dell’Enciclopedia Italiana
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